Найти для функции \( f(x) = x^2 + 2 \) первообразную \( F(x) \), график которой проходит через точку \( (2; 15) \).

Для нахождения первообразной функции $f(x) = x^2 + 2$, нужно выполнить интегрирование этой функции.

Интеграл функции $f(x) = x^2 + 2$ имеет вид:

Для интегрирования каждого слагаемого отдельно:

• Интеграл от $x^2$ — это $\frac{x^3}{3}$.

• Интеграл от 2 — это $2x$.

Таким образом, первообразная функции $f(x) = x^2 + 2$ будет:

где $C$ — постоянная интегрирования, которую нужно определить, используя условие, что график функции $F(x)$ проходит через точку $(2; 15)$.

Подставим координаты точки $(2; 15)$ в выражение для первообразной:

Вычислим:

Теперь решим уравнение:

Вычитаем $\frac{20}{3}$ из обеих частей:

Таким образом, постоянная интегрирования $C = \frac{25}{3}$.

Следовательно, полное выражение для первообразной функции будет: