Найдите первообразную функции y=3x^2+1, проходящую через точку M(-2;6).

Для нахождения первообразной функции $y = 3x^2 + 1$, нам нужно интегрировать эту функцию.

1. Интегрируем функцию $y = 3x^2 + 1$:

   $$\int (3x^2 + 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 1 \, dx$$

2. Для первого интеграла $\int 3x^2 \, dx$:

   $$\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$$

3. Для второго интеграла $\int 1 \, dx$:

   $$\int 1 \, dx = x$$

4. Следовательно, первообразная будет:

   $$F(x) = x^3 + x + C$$

   где $C$ — константа интегрирования.

5. Теперь, чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что первообразная должна проходить через точку $M(-2; 6)$. То есть, при $x = -2$, $F(x) = 6$.

   Подставим эти значения в выражение для первообразной:

   $$6 = (-2)^3 + (-2) + C$$ $$6 = -8 - 2 + C$$ $$6 = -10 + C$$ $$C = 16$$

6. Таким образом, первообразная, проходящая через точку $M(-2; 6)$, будет:

   $$F(x) = x^3 + x + 16$$