X^2-4x+3>=0 неравенство

Для решения неравенства $x^2 - 4x + 3 \geq 0$, начнем с того, что представим его в виде выражения, которое можно решить с помощью анализа знаков.

1. Решение соответствующего уравнения:
   Сначала решим уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. Для этого применим формулу дискриминанта для квадратных уравнений $ax^2 + bx + c = 0$, где:

   • $a = 1$

   • $b = -4$

   • $c = 3$

   Дискриминант $D$ рассчитывается по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Подставляем значения:

   $$D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4$$

   Так как дискриминант больше нуля, у уравнения два корня. Используем формулу корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$

   То есть, уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$ имеет корни $x = 1$ и $x = 3$.

2. Построение промежутков:
   Мы знаем, что уравнение имеет два корня, поэтому решаем неравенство $x^2 - 4x + 3 \geq 0$ на интервалах, определяемых этими корнями. Промежутки, которые нужно рассмотреть, следующие:

   • $(-\infty, 1)$

   • $(1, 3)$

   • $(3, \infty)$

3. Анализ знаков:
   Рассмотрим знаки выражения $x^2 - 4x + 3$ на каждом из этих промежутков. Для этого подставим тестовые значения из каждого промежутка в исходное выражение:

   • Для промежутка $(-\infty, 1)$: Подставим $x = 0$. Тогда:

     $$0^2 - 4 \times 0 + 3 = 3 > 0$$

     Значит, выражение положительно на этом промежутке.

   • Для промежутка $(1, 3)$: Подставим $x = 2$. Тогда:

     $$2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0$$

     Значит, выражение отрицательно на этом промежутке.

   • Для промежутка $(3, \infty)$: Подставим $x = 4$. Тогда:

     $$4^2 - 4 \times 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0$$

     Значит, выражение положительно на этом промежутке.

4. Решение неравенства:
   Мы ищем значения $x$, при которых $x^2 - 4x + 3 \geq 0$. Из анализа знаков видно, что выражение больше или равно нулю на промежутках $(-\infty, 1]$ и $[3, \infty)$.

   Таким образом, решение неравенства:

   $$x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$$