Из множества трёхзначных чисел наудачу выбирается число. Какова вероятность того, что оно кратно 11?

Для того чтобы решить эту задачу, давайте шаг за шагом определим все необходимые элементы.

1. Общее количество трёхзначных чисел.

Трёхзначные числа — это числа от 100 до 999, включительно. Таким образом, общее количество трёхзначных чисел:
$999 - 100 + 1 = 900$
Итак, общее количество трёхзначных чисел — 900.

2. Условие задачи: число должно быть кратно 11.

Число делится на 11, если его остаток от деления на 11 равен нулю. Рассмотрим диапазон трёхзначных чисел от 100 до 999. Чтобы найти все трёхзначные числа, которые делятся на 11, нужно определить первое и последнее такие числа в этом диапазоне.

• Первое трёхзначное число, которое делится на 11, — это 110. Мы получаем его, разделив 100 на 11 и округлив в большую сторону (до ближайшего целого числа, которое делится на 11).

• Последнее трёхзначное число, которое делится на 11, — это 990. Мы получаем его, разделив 999 на 11 и округлив вниз.

Теперь найдём количество чисел, которые делятся на 11, между 110 и 990, включительно. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где первый член 110, последний 990, а разность между членами прогрессии равна 11.

Для нахождения количества таких чисел используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$
где $a_n = 990$ — последний член, $a_1 = 110$ — первый член, $d = 11$ — разность, $n$ — количество чисел.

Подставим значения в формулу:
$990 = 110 + (n - 1) \cdot 11$
Решим это уравнение:
$990 - 110 = (n - 1) \cdot 11$
$880 = (n - 1) \cdot 11$
$n - 1 = \frac{880}{11} = 80$
$n = 81$

Таким образом, существует 81 трёхзначное число, которое делится на 11.

3. Вероятность.

Теперь, когда мы знаем, что общее количество трёхзначных чисел равно 900, а количество чисел, которые делятся на 11 — 81, вероятность того, что случайно выбранное число будет кратно 11, равна:
$P = \frac{81}{900} = \frac{9}{100} = 0.09$

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число будет кратно 11, равна 0.09, или 9%.