Решите неравенство: log² (5-x)по основанию 2 - 2log(5-х)³по основанию 2 + 9≤0

Для решения неравенства $\log_2^2 (5 - x) - 2 \log_2 (5 - x)^3 + 9 \leq 0$, давайте сначала упростим его.

1. Обозначим $t = \log_2 (5 - x)$.

   Это преобразование помогает заменить логарифмы более простыми переменными и упростить выражение.

2. Перепишем неравенство через $t$:

   $\log_2^2 (5 - x) = t^2$ и $\log_2 (5 - x)^3 = 3t$.

   Подставим эти выражения в исходное неравенство:

   $$t^2 - 2(3t) + 9 \leq 0$$

   Получаем:

   $$t^2 - 6t + 9 \leq 0$$

3. Решим квадратное неравенство:

   Это стандартное квадратное неравенство, его можно решить с помощью формулы для дискриминанта или через выделение полного квадрата. Давайте выделим полный квадрат:

   $$t^2 - 6t + 9 = (t - 3)^2$$

   Теперь неравенство выглядит так:

   $$(t - 3)^2 \leq 0$$

4. Анализируем решение:

   Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть $(t - 3)^2 \geq 0$. Поэтому, для того чтобы неравенство выполнялось, должно быть:

   $$(t - 3)^2 = 0$$

   Это означает, что:

   $$t = 3$$

5. Возвращаемся к переменной $x$:

   Напоминаем, что $t = \log_2 (5 - x)$, и получили $t = 3$. То есть:

   $$\log_2 (5 - x) = 3$$

   Преобразуем это в экспоненциальную форму:

   $$5 - x = 2^3 = 8$$

   Таким образом:

   $$x = 5 - 8 = -3$$

6. Проверка области допустимых значений:

   В исходном выражении есть логарифм $\log_2 (5 - x)$, который определен, только если $5 - x > 0$, то есть $x < 5$.

7. Вывод:

   Мы нашли, что $x = -3$, и это значение удовлетворяет условию $x < 5$.

Ответ: $x = -3$.