2 sin (альфа - 7π) + cos (3π/2 + альфа)/ sin (альфа + π)

Чтобы упростить выражение $2 \sin(\alpha - 7\pi) + \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin(\alpha + \pi)}$, давайте разобьем его на части.

1. Упрощение $\sin(\alpha - 7\pi)$:
   Сначала заметим, что $\sin(\alpha - 7\pi)$ можно упростить. Мы знаем, что синус имеет период $2\pi$, то есть $\sin(x) = \sin(x + 2\pi k)$ для любого целого $k$. В данном случае, $-7\pi$ можно записать как $-7\pi = -2\pi \times 3 + \pi$. Таким образом, $\sin(\alpha - 7\pi) = \sin(\alpha + \pi)$.

2. Упрощение $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$:
   Теперь упростим $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$. Мы знаем, что $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha)$, так как сдвиг на $\frac{3\pi}{2}$ меняет знак косинуса на минус синус.

3. Упрощение $\sin(\alpha + \pi)$:
   Также известно, что $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$, так как синус сдвигается на $\pi$ и меняет знак.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную формулу:

Преобразуем дальше:

Итак, окончательное упрощенное выражение: