Найдите решения системы: xy=3, и х в квадрате+ у в квадрате=10.

Для нахождения решений системы уравнений $xy = 3$ и $x^2 + y^2 = 10$, давайте пошагово решим её.

1. Из первого уравнения выразим одну переменную через другую.

Из уравнения $xy = 3$ выразим $y$ через $x$:

2. Подставим выражение для $y$ во второе уравнение.

Теперь подставим $y = \frac{3}{x}$ во второе уравнение $x^2 + y^2 = 10$:

Раскроем скобки:

Умножим всё на $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

Переносим все элементы на одну сторону:

Теперь это квадратное уравнение относительно $x^2$. Пусть $z = x^2$, тогда у нас получится:

3. Решим квадратное уравнение.

Для решения уравнения $z^2 - 10z + 9 = 0$ используем формулу дискриминанта:

Таким образом, дискриминант $D = 64$, и корни уравнения:

Тогда $z$ может быть:

4. Найдем $x$ и $y$.

Поскольку $z = x^2$, то $x^2 = 9$ или $x^2 = 1$.

• Для $x^2 = 9$, $x = 3$ или $x = -3$.

• Для $x^2 = 1$, $x = 1$ или $x = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения для $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение $y = \frac{3}{x}$.

• Если $x = 3$, то $y = \frac{3}{3} = 1$.

• Если $x = -3$, то $y = \frac{3}{-3} = -1$.

• Если $x = 1$, то $y = \frac{3}{1} = 3$.

• Если $x = -1$, то $y = \frac{3}{-1} = -3$.

5. Подтвердим, что найденные решения удовлетворяют обеим исходным уравнениям.

• Для $x = 3$