Решите систему всеми способами. x + 4y = 7 x - 2y = -5

Для решения данной системы уравнений можно использовать несколько методов: подстановки, исключения или метод матриц. Рассмотрим их по очереди.

1. Метод подстановки:

Исходные уравнения:

Из уравнения (2) выразим $x$:

Теперь подставим это выражение для $x$ в уравнение (1):

Упростим:

Добавим 5 к обеим частям:

Теперь поделим обе части на 6:

Теперь, зная $y = 2$, подставим это значение в выражение для $x$:

Ответ: $x = -1$, $y = 2$.

2. Метод исключения:

Исходные уравнения:

Для исключения $x$ из системы вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

Упростим:

Теперь поделим обе части на 6:

Теперь подставим значение $y = 2$ в любое из исходных уравнений, например, в уравнение (2):

Упростим:

Добавим 4 к обеим частям:

Ответ: $x = -1$, $y = 2$.

3. Метод матриц:

Представим систему в виде матричного уравнения:

Используя метод обратной матрицы, найдем решение.

Обратная матрица для матрицы коэффициентов $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ равна:

Где детерминант матрицы $A$:

Тогда:

Теперь умножим обратную матрицу на вектор правых частей системы:

Выполнив умножение матриц, получаем: