Сколькими нулями заканчивается произведение всех чисел от 1 до 100?

Чтобы определить, сколькими нулями заканчивается произведение всех чисел от 1 до 100, необходимо понять, сколько раз в произведении появляется множитель 10. Поскольку 10 = 2 × 5, то нужно подсчитать, сколько пар чисел 2 и 5 встречается в разложении всех чисел от 1 до 100.

Шаг 1: Подсчитаем количество чисел, делящихся на 5

Числа, делящиеся на 5, дадут нам множитель 5. Мы находим такие числа, разделив 100 на 5, 25, 125 и т. д.

• Числа, делящиеся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100 (всего 20 чисел).

• Числа, делящиеся на 25 (это те, которые дают еще дополнительный множитель 5): 25, 50, 75, 100 (всего 4 числа).

Таким образом, количество множителей 5 равно 20 + 4 = 24.

Шаг 2: Подсчитаем количество чисел, делящихся на 2

Числа, делящиеся на 2, дают множитель 2, и их будет намного больше, чем чисел, делящихся на 5. Чтобы понять, сколько таких чисел, просто разделим 100 на 2:

• Числа, делящиеся на 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100 (всего 50 чисел).

Также нужно учесть числа, делящиеся на более высокие степени двойки, например, на 4, 8 и т. д.

• Числа, делящиеся на 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100 (всего 25 чисел).

• Числа, делящиеся на 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 (всего 12 чисел).

• Числа, делящиеся на 16: 16, 32, 48, 64, 80, 96 (всего 6 чисел).

• Числа, делящиеся на 32: 32, 64 (всего 2 числа).

• Числа, делящиеся на 64: 64 (всего 1 число).

Таким образом, общее количество множителей 2 в произведении всех чисел от 1 до 100 равно:

50 + 25 + 12 + 6 + 2 + 1 = 96.

Шаг 3: Количество нулей в произведении

Поскольку каждый множитель 10 получается из пары множителей 2 и 5, количество нулей в произведении будет равно минимальному количеству таких пар. Мы видим, что множителей 5 (24) меньше, чем множителей 2 (96), поэтому количество нулей в произведении всех чисел от 1 до 100 равно 24.

Ответ: произведение всех чисел от 1 до 100 заканчивается 24 нулями.