Найти центр и радиус окружности \( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \).

Чтобы найти центр и радиус окружности, нужно привести уравнение окружности к стандартному виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, где $(a, b)$ — это центр окружности, а $r$ — её радиус.

Дано уравнение окружности:

1. Перепишем уравнение, сгруппировав термины с $x$ и $y$:

2. Теперь нужно привести выражения $x^2 - 4x$ и $y^2 + 6y$ к полным квадратам. Для этого добавим и вычтем нужные числа.

• Для $x^2 - 4x$ добавим и вычтем $\left( \frac{4}{2} \right)^2 = 4$:

• Для $y^2 + 6y$ добавим и вычтем $\left( \frac{6}{2} \right)^2 = 9$:

3. Подставим эти выражения обратно в уравнение:

4. Упростим уравнение:

Теперь уравнение находится в стандартной форме $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$, где:

• Центр окружности $(a, b) = (2, -3)$

• Радиус окружности $r = \sqrt{25} = 5$

Таким образом, центр окружности — это точка $(2, -3)$, а её радиус равен 5.