радиус окружности, описанной около квадрата, равен 32 корней из 2. найдите радиус окружности, вписанной в квадрат.

Для решения этой задачи сначала разберёмся с отношением радиусов описанной и вписанной окружностей квадрата.

1. Пусть $R$ — радиус описанной окружности вокруг квадрата. В условии указано, что $R = 32\sqrt{2}$.

2. Найдем сторону квадрата. Описанная окружность квадрата проходит через все его вершины. Диагональ квадрата является диаметром этой окружности, поэтому:

   $$d = 2R = 2 \cdot 32\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$$

   Диагональ квадрата $d$ также может быть выражена через его сторону $a$ как $d = a\sqrt{2}$. Приравняем это к найденному значению:

   $$a\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$$

   Отсюда следует, что $a = 64$.

3. Радиус вписанной окружности. Вписанная окружность касается всех сторон квадрата, и её радиус равен половине стороны квадрата:

   $$r = \frac{a}{2} = \frac{64}{2} = 32$$

Ответ: радиус вписанной окружности равен 32.