Хорды AB и KM окружности пересекающиеся в точке P . Вычислите:а) градусную меру острого угла, образованного этими хордами, если точки A,B,K,M делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 10,4,2,и 8. Б) длину отрезка KP , если PM на 13 см меньше KP, BP=12см, AB=19,5см.

Давайте разберём задачу на две части и решим их по очереди:

Часть а: Градусная мера угла между хордами AB и KM

Даны хорды AB и KM, которые пересекаются в точке P. Точки A, B, K и M делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 10, 4, 2 и 8.

1. Определим градусные меры дуг: Поскольку дуги пропорциональны числам 10, 4, 2 и 8, найдем сумму всех этих чисел:

   $$10 + 4 + 2 + 8 = 24$$

   Полная окружность равна 360°, значит, каждая единица пропорции соответствует:

   $$\frac{360^\circ}{24} = 15^\circ$$

2. Вычислим градусные меры дуг:

   • Дуга, пропорциональная 10: $10 \times 15^\circ = 150^\circ$
   • Дуга, пропорциональная 4: $4 \times 15^\circ = 60^\circ$
   • Дуга, пропорциональная 2: $2 \times 15^\circ = 30^\circ$
   • Дуга, пропорциональная 8: $8 \times 15^\circ = 120^\circ$

3. Определим угол между хордами:

   • Предположим, что точки A и B делят окружность на дуги 150° и 60°, а точки K и M делят на дуги 30° и 120°.
   • Угол между пересекающимися хордами равен половине разности градусных мер дуг, на которые эти хорды натянуты.
   • Пусть угол между дугами, на которые натянута хорда AB (150° и 60°), и дугами, на которые натянута хорда KM (30° и 120°), составляет разницу в 150° и 30°:
   $$\text{Острый угол } \alpha = \frac{|150^\circ - 30^\circ|}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

   Итак, градусная мера острого угла, образованного пересекающимися хордами AB и KM, равна $60^\circ$.

Часть б: Длина отрезка KP

Дано:

• PM на 13 см меньше KP, то есть $PM = KP - 13$.
• BP = 12 см.
• AB = 19,5 см.

Рассчитаем длину отрезка KP.

1. Воспользуемся теоремой о произведении отрезков хорды: Согласно теореме о произведении отрезков хорды, если две хорды пересекаются в точке P, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

   $$AP \cdot BP = KP \cdot PM$$

   Пусть длина KP равна $x$, тогда длина PM равна $x - 13$.

   Подставим значения:

   $$AP \cdot 12 = x \cdot (x - 13)$$

2. Вычислим длину AP:

   • Поскольку AB = 19,5 см и BP = 12 см, то:
   $$AP = AB - BP = 19,5 - 12 = 7,5 \, \text{см}$$

3. Составим и решим уравнение:

   $$7,5 \cdot 12 = x \cdot (x - 13)$$ $$90 = x^2 - 13x$$ $$x^2 - 13x - 90 = 0$$

   Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

   $$D = 13^2 + 4 \cdot 90 = 169 + 360 = 529$$ $$\sqrt{D} = 23$$ $$x_1 = \frac{13 + 23}{2} = 18 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{13 - 23}{2} = -5$$

   Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

   $$x = 18 \, \text{см}$$

   Итак, длина отрезка $KP = 18 \, \text{см}$, а длина отрезка $PM = 18 - 13 = 5 \, \text{см}$.

Ответ:

а) Градусная мера острого угла, образованного хордами AB и KM, равна $60^\circ$.
б) Длина отрезка KP равна 18 см.