Написать уравнение плоскости проходящей через точку А перпендикулярно вектору ВС А(0;-8;10) В(-5;5;7) С(-8;0;4)

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку $A(0, -8, 10)$ и перпендикулярной вектору $\overrightarrow{BC}$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем вектор $\overrightarrow{BC}$:

   Вектор $\overrightarrow{BC}$ можно вычислить как разность координат точек $C$ и $B$:

   $$\overrightarrow{BC} = C - B = (-8, 0, 4) - (-5, 5, 7) = (-8 + 5, 0 - 5, 4 - 7) = (-3, -5, -3).$$

   Таким образом, вектор $\overrightarrow{BC} = (-3, -5, -3)$.

2. Найдем уравнение плоскости:

   Плоскость, перпендикулярная вектору $\overrightarrow{BC}$, будет иметь нормаль, равную этому вектору. Уравнение плоскости в пространстве можно записать в виде:

   $$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0,$$

   где $(x_0, y_0, z_0)$ — точка, через которую проходит плоскость, а $(a, b, c)$ — компоненты нормального вектора к плоскости.

   Мы знаем, что нормаль к плоскости $\overrightarrow{BC} = (-3, -5, -3)$, а точка $A(0, -8, 10)$ лежит на плоскости. Подставим данные в уравнение:

   $$-3(x - 0) - 5(y + 8) - 3(z - 10) = 0.$$

3. Упростим уравнение:
   Раскроем скобки и упростим:

   $$-3x - 5(y + 8) - 3(z - 10) = 0,$$ $$-3x - 5y - 40 - 3z + 30 = 0,$$ $$-3x - 5y - 3z - 10 = 0.$$

   Умножим обе стороны на $-1$, чтобы получить более стандартную форму:

   $$3x + 5y + 3z + 10 = 0.$$

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку $A(0, -8, 10)$ и перпендикулярной вектору $\overrightarrow{BC}$, будет: