Площадь прямоугольного треугольника равна 180 квадратных см. Найдите катеты треугольника, если их сумма равна 39 см.

Для того чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулами для площади прямоугольного треугольника и для суммы катетов.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Пусть катеты треугольника обозначаются как $a$ и $b$. Тогда площадь треугольника можно записать так:

Это выражение можно умножить на 2, чтобы избавиться от дроби:

Также известно, что сумма катетов равна 39 см:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

Чтобы решить эту систему, выразим одно из неизвестных через другое. Из второго уравнения получаем:

Подставим это в первое уравнение:

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так:

В нашем случае $a = 1$, $b = -39$, $c = 360$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два решения. Теперь найдем корни уравнения:

Получаем два значения для $a$:

Таким образом, один из катетов равен 24 см, а другой — 15 см. Поэтому катеты треугольника — это 24 см и 15 см.