Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см².

Для того чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, нужно использовать два исходных условия:

1. Сумма катетов равна 23 см.

2. Площадь треугольника равна 60 см².

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

где $a$ и $b$ — катеты треугольника, а $S$ — площадь.

Из условия задачи известно, что площадь треугольника равна 60 см², значит:

или

Также известно, что сумма катетов равна 23 см:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $a \times b = 120$

2. $a + b = 23$

Мы можем решить эту систему с помощью подстановки. Из уравнения (2) выразим $b$ через $a$:

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта $D$ квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ следующая:

Для нашего уравнения $A = 1$, $B = -23$, $C = 120$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

Таким образом, два возможных значения для $a$:

Теперь находим значения для $b$ с использованием уравнения $a + b = 23$:
Если $a = 15$, то $b = 23 - 15 = 8$.
Если $a = 8$, то $b = 23 - 8 = 15$.

Таким образом, катеты треугольника — это 15 см и 8 см.