sin² t + cos² t = 1. Докажите тождество.

Чтобы доказать тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, воспользуемся основным тригонометрическим определением и понятиями.

Это тождество известно как основной тригонометрический идентификатор и является основой для всех других тригонометрических выражений. Оно утверждает, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла $t$ всегда равна 1.

Для доказательства воспользуемся следующим подходом:

1. Определение тригонометрических функций на единичной окружности: Пусть $t$ — угол, который соответствует точке на единичной окружности. На этой окружности координаты любой точки, определяемой углом $t$, равны:

   • $x = \cos t$

   • $y = \sin t$

2. Уравнение единичной окружности: Все точки на единичной окружности удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 1$, где $x$ и $y$ — координаты точки на окружности.

3. Подставляем тригонометрические функции: Поскольку $x = \cos t$ и $y = \sin t$, подставляем эти значения в уравнение окружности:

   $$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$$

Таким образом, мы доказали, что тождество \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \ верно для любого угла \( t.