2 sin² x – sin x cos x - cos² x = 0

Рассмотрим уравнение:

Чтобы решить это уравнение, сначала преобразуем его и попробуем найти возможные значения для $x$.

Шаг 1: Введение новой переменной

Для удобства введем обозначения:

Тогда уравнение можно переписать как:

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь это квадратное уравнение относительно $a$ и $b$. Попробуем решить его как квадратное по $a$:

Решаем это уравнение относительно $a$ с использованием формулы для решения квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$:

Шаг 3: Возможные значения для $a$

Теперь рассмотрим два возможных случая:

1. $a = \frac{b + 3b}{4} = \frac{4b}{4} = b$

2. $a = \frac{b - 3b}{4} = \frac{-2b}{4} = -\frac{b}{2}$

Шаг 4: Анализ случаев

Случай 1: $a = b$

Если $\sin x = \cos x$, то это происходит, когда:

Решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n$ — целое число.

Случай 2: $a = -\frac{b}{2}$

Если $\sin x = -\frac{1}{2} \cos x$, то делим обе стороны на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

Решение этого уравнения:

где $n$ — целое число.

Ответ:

Таким образом, уравнение $2 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$ имеет следующие решения: