Исследовать функцию у = х³/3 + 3х²

Функция, которую нужно исследовать: $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$.

1. Определение области определения функции

Для функции $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$ область определения — это все действительные числа, так как она состоит только из полиномиальных выражений (степен x) и деление на ноль не встречается. Следовательно, область определения функции: $(-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной (первая производная)

Для того чтобы изучить поведение функции (например, точки экстремума), необходимо найти её первую производную:

Используем правила дифференцирования:

3. Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек нужно приравнять первую производную к нулю:

Решим это уравнение:

Таким образом, $x = 0$ и $x = -6$ — это критические точки.

4. Определение типа критических точек (вторичная производная)

Теперь нужно найти вторую производную функции, чтобы понять, является ли критическая точка максимумом, минимумом или седловой точкой:

Теперь подставим значения критических точек в $y''$:

• Для $x = 0$:

Так как $y''(0) > 0$, точка $x = 0$ является точкой минимума.

• Для $x = -6$:

Так как $y''(-6) < 0$, точка $x = -6$ является точкой максимума.

5. Поведение функции на бесконечности

Теперь рассмотрим поведение функции на бесконечности:

• Когда $x \to +\infty$, функция $y$ будет стремиться к $+\infty$, так как $x^3$ растет быстрее, чем $x^2$.

• Когда $x \to -\infty$, функция $y$ будет стремиться к $-\infty$, так как $x^3$ доминирует и будет отрицательным (в кубе).

6. Нахождение промежутков возрастания и убывания

Теперь, используя первую производную $y' = x^2 + 6x$, определим, на каких промежутках функция возрастает или убывает:

• $y' > 0$ при $x > -6$ (функция возрастает).

• $y' < 0$ при $x < -6$ (функция убывает).

7. Рисунок графика

Из анализа видно, что функция имеет минимум в точке $x = 0$, максимум в точке $x = -6$, и на бесконечности она ведет себя как кубическая функция с положительным коэффициентом перед кубом.

Таким образом, краткие результаты исследования функции:

• Область определения: $(-\infty; +\infty)$.

• Критические точки: $x = 0$ (минимум), $x = -6$ (максимум).

• Функция возрастает на промежутке $(-6; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -6)$.

• На бесконечности: $y \to +\infty$, когда $x \to +\infty$, и $y \to -\infty$, когда $x \to -\infty$.