Исследовать функцию у = х³/3 + 3х²

Ответы на вопрос

Отвечает Склюев Ваня.

Функция, которую нужно исследовать: $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$ .

1. Определение области определения функции

Для функции $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$ область определения — это все действительные числа, так как она состоит только из полиномиальных выражений (степен x) и деление на ноль не встречается. Следовательно, область определения функции: $(-\infty; +\infty)$ .

2. Нахождение производной (первая производная)

Для того чтобы изучить поведение функции (например, точки экстремума), необходимо найти её первую производную:

y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} + 3x^2 \right)

Используем правила дифференцирования:

y' = \frac{3x^2}{3} + 6x = x^2 + 6x

3. Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек нужно приравнять первую производную к нулю:

x^2 + 6x = 0

Решим это уравнение:

x(x + 6) = 0

Таким образом, $x = 0$ и $x = -6$ — это критические точки.

4. Определение типа критических точек (вторичная производная)

Теперь нужно найти вторую производную функции, чтобы понять, является ли критическая точка максимумом, минимумом или седловой точкой:

y'' = \frac{d}{dx} (x^2 + 6x) = 2x + 6

Теперь подставим значения критических точек в $y''$ :

Для $x = 0$ :

y''(0) = 2(0) + 6 = 6

Так как $y''(0) > 0$ , точка $x = 0$ является точкой минимума.

Для $x = -6$ :

y''(-6) = 2(-6) + 6 = -6

Так как $y''(-6) < 0$ , точка $x = -6$ является точкой максимума.

5. Поведение функции на бесконечности

Теперь рассмотрим поведение функции на бесконечности:

Когда $x \to +\infty$ , функция $y$ будет стремиться к $+\infty$ , так как $x^3$ растет быстрее, чем $x^2$ .
Когда $x \to -\infty$ , функция $y$ будет стремиться к $-\infty$ , так как $x^3$ доминирует и будет отрицательным (в кубе).

6. Нахождение промежутков возрастания и убывания

Теперь, используя первую производную $y' = x^2 + 6x$ , определим, на каких промежутках функция возрастает или убывает:

$y' > 0$ при $x > -6$ (функция возрастает).
$y' < 0$ при $x < -6$ (функция убывает).

7. Рисунок графика

Из анализа видно, что функция имеет минимум в точке $x = 0$ , максимум в точке $x = -6$ , и на бесконечности она ведет себя как кубическая функция с положительным коэффициентом перед кубом.

Таким образом, краткие результаты исследования функции:

Область определения: $(-\infty; +\infty)$ .
Критические точки: $x = 0$ (минимум), $x = -6$ (максимум).
Функция возрастает на промежутке $(-6; +\infty)$ , убывает на $(-\infty; -6)$ .
На бесконечности: $y \to +\infty$ , когда $x \to +\infty$ , и $y \to -\infty$ , когда $x \to -\infty$ .

Похожие вопросы