Решите уравнение sin(x/3 + π/4) = -1.

Для того чтобы решить уравнение $\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = -1$, нужно найти все значения $x$, при которых синус выражения равен $-1$.

1. Основное свойство синуса:
   Функция синуса достигает значения $-1$ в точках:

   $$\sin(\theta) = -1 \quad \text{для} \quad \theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

   То есть, синус равен $-1$ при $\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — любое целое число.

2. Подстановка в уравнение:
   Мы знаем, что:

   $$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi.$$

   Теперь решим это уравнение относительно $x$.

3. Перенос $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

   $$\frac{x}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi - \frac{\pi}{4}.$$

   Для того чтобы привести правую часть к общему знаменателю, перепишем все с учётом дробей с числом 4:

   $$\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}, \quad \text{тогда у нас получится:}$$ $$\frac{x}{3} = \frac{6\pi}{4} + 2k\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi.$$

4. Умножение обеих частей на 3:

   $$x = 3\left(\frac{5\pi}{4} + 2k\pi\right).$$

   Раскроем скобки:

   $$x = \frac{15\pi}{4} + 6k\pi.$$

Таким образом, общее решение уравнения: