(5х-2)(х+6)>0 Решите неравенство методом интервалов

Для решения неравенства $(5x - 2)(x + 6) > 0$ методом интервалов, следуем следующим шагам.

Шаг 1: Найдем корни уравнения.

Для этого приравняем каждое из множителей к нулю:

1. $5x - 2 = 0$, решаем:

   $$5x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{5}.$$

2. $x + 6 = 0$, решаем:

   $$x = -6.$$

Таким образом, корни уравнения $(5x - 2)(x + 6) = 0$ — это $x = \frac{2}{5}$ и $x = -6$.

Шаг 2: Разделим числовую прямую на интервалы.

Корни $x = -6$ и $x = \frac{2}{5}$ делят числовую прямую на три интервала:

1. $(-\infty, -6)$,

2. $(-6, \frac{2}{5})$,

3. $(\frac{2}{5}, +\infty)$.

Теперь нужно определить знак выражения $(5x - 2)(x + 6)$ на каждом из этих интервалов.

Шаг 3: Определим знак выражения на каждом интервале.

Для этого выберем тестовые значения для каждого интервала и подставим их в выражение $(5x - 2)(x + 6)$.

1. Для интервала $(-\infty, -6)$ возьмем значение $x = -7$:

   $$(5(-7) - 2)((-7) + 6) = (-35 - 2)(-7 + 6) = (-37)(-1) = 37 > 0.$$

   Знак положительный.

2. Для интервала $(-6, \frac{2}{5})$ возьмем значение $x = 0$:

   $$(5(0) - 2)(0 + 6) = (-2)(6) = -12 < 0.$$

   Знак отрицательный.

3. Для интервала $(\frac{2}{5}, +\infty)$ возьмем значение $x = 1$:

   $$(5(1) - 2)(1 + 6) = (5 - 2)(1 + 6) = (3)(7) = 21 > 0.$$

   Знак положительный.

Шаг 4: Запишем решение.

Неравенство $(5x - 2)(x + 6) > 0$ выполняется на интервалах, где произведение положительное. Это происходит на интервалах $(-\infty, -6)$ и $(\frac{2}{5}, +\infty)$.

Ответ:

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -6) \cup (\frac{2}{5}, +\infty)$.