(x + 8)(x - 5) > 0 ; (решение неравенств методом интервалов)

Для решения неравенства $(x + 8)(x - 5) > 0$ методом интервалов нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем корни квадратного неравенства.

Корни получаются при равенстве каждого множителя нулю:

• $x + 8 = 0$ даёт $x = -8$,

• $x - 5 = 0$ даёт $x = 5$.

Таким образом, у нас есть два критических значения: $x = -8$ и $x = 5$.

2. Разделим числовую ось на интервалы.

Теперь, зная корни, разделим числовую ось на три интервала:

• $(-\infty, -8)$,

• $(-8, 5)$,

• $(5, +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале.

Для этого подставим тестовые значения из каждого интервала в выражение $(x + 8)(x - 5)$:

• Интервал $(-\infty, -8)$:
  Пусть $x = -9$. Тогда:

  $$(x + 8)(x - 5) = (-9 + 8)(-9 - 5) = (-1)(-14) = 14 > 0.$$

  Значит, на интервале $(-\infty, -8)$ выражение положительное.

• Интервал $(-8, 5)$:
  Пусть $x = 0$. Тогда:

  $$(x + 8)(x - 5) = (0 + 8)(0 - 5) = (8)(-5) = -40 < 0.$$

  Значит, на интервале $(-8, 5)$ выражение отрицательное.

• Интервал $(5, +\infty)$:
  Пусть $x = 6$. Тогда:

  $$(x + 8)(x - 5) = (6 + 8)(6 - 5) = (14)(1) = 14 > 0.$$

  Значит, на интервале $(5, +\infty)$ выражение положительное.

4. Подсчитаем, где выражение больше нуля.

Нам нужно решить неравенство $(x + 8)(x - 5) > 0$, то есть найти, где произведение положительное. Это происходит на интервалах:

• $(-\infty, -8)$,

• $(5, +\infty)$.

5. Ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (5, +\infty)$.