сколько среди четырехзначных чисел (без повторения цифр), составленных из цифр 3, 5, 7, 9, таких, которые:а) начинаются на 3, б) кратны 15

а) Числа, начинающиеся на 3

Для чисел, начинающихся на 3, первая цифра фиксирована, и она равна 3. Оставшиеся три цифры нужно выбрать из оставшихся цифр: 5, 7 и 9. Поскольку числа должны быть четырёхзначными и без повторений, для оставшихся мест (второе, третье и четвёртое) мы можем выбрать и расположить цифры следующим образом:

• Для второй цифры (после 3) мы можем выбрать одну из 3 оставшихся цифр (5, 7 или 9).

• Для третьей цифры остаются 2 варианта (так как одну цифру уже использовали).

• Для четвёртой цифры остаётся 1 вариант.

Таким образом, количество чисел, начинающихся на 3, равно:

$1 \times 3 \times 2 \times 1 = 6$

Итак, ответ для пункта а) — 6 чисел.

б) Числа, кратные 15

Число будет кратно 15, если оно делится на 3 и на 5 одновременно. Для этого нужно, чтобы число было делимо на 3 и заканчивалось цифрой 5 (так как числа, кратные 5, заканчиваются на 5).

1. Кратность 3. Для числа, составленного из цифр 3, 5, 7, 9, условие делимости на 3 выполняется, если сумма его цифр делится на 3. Сумма всех цифр — 3 + 5 + 7 + 9 = 24, что делится на 3. Поскольку числа составляются из этих цифр без повторений, сумма цифр всегда будет делиться на 3, и это условие всегда выполняется.

2. Кратность 5. Число должно заканчиваться на 5, потому что оно должно быть кратно 5.

Теперь нужно выбрать первые три цифры из оставшихся: 3, 7 и 9. Для этих трёх цифр можно составить число, выбирая их и располагая их в любом порядке. Возможности:

• Первая цифра: 3 варианта (из 3, 7, 9).

• Вторая цифра: 2 варианта (оставшиеся две цифры).

• Третья цифра: 1 вариант (оставшаяся цифра).

Таким образом, количество чисел, кратных 15, равно:

$1 \times 3 \times 2 \times 1 = 6$

Ответ для пункта б) — 6 чисел.