Решить неравенство a) x^2>9; б) (x+8)*(x-4)*(x-7)>0; в) x-5 дробь x+7 <0

Решим каждое из данных неравенств поэтапно.

а) $x^2 > 9$

1. Преобразуем неравенство:

   $$x^2 > 9 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 9 > 0$$

   Это выражение можно представить как разность квадратов:

   $$(x - 3)(x + 3) > 0$$

2. Чтобы решить это неравенство, найдем нули выражения. Они равны $x = 3$ и $x = -3$. Эти значения разбивают числовую ось на три интервала:

   • $(-\infty, -3)$

   • $(-3, 3)$

   • $(3, \infty)$

3. Теперь проверим знаки на каждом интервале:

   • Для интервала $(-\infty, -3)$: выбираем точку $x = -4$. Подставляем в выражение $(x - 3)(x + 3)$:

     $$(-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0$$

     Значит, на интервале $(-\infty, -3)$ выражение положительно.

   • Для интервала $(-3, 3)$: выбираем точку $x = 0$. Подставляем:

     $$(0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0$$

     Значит, на интервале $(-3, 3)$ выражение отрицательно.

   • Для интервала $(3, \infty)$: выбираем точку $x = 4$. Подставляем:

     $$(4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0$$

     Значит, на интервале $(3, \infty)$ выражение положительно.

4. Итог: неравенство $(x - 3)(x + 3) > 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$. Ответ:

   $$x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$$

б) $(x + 8)(x - 4)(x - 7) > 0$

1. Нули выражения: $x = -8$, $x = 4$, $x = 7$. Эти значения разбивают числовую ось на четыре интервала:

   • $(-\infty, -8)$

   • $(-8, 4)$

   • $(4, 7)$

   • $(7, \infty)$

2. Проверим знак выражения на каждом интервале:

   • Для интервала $(-\infty, -8)$: выбираем точку $x = -9$. Подставляем:

     $$(-9 + 8)(-9 - 4)(-9 - 7) = (-1)(-13)(-16) = -208 < 0$$

     Значит, на интервале $(-\infty, -8)$ выражение отрицательно.

   • Для интервала $(-8, 4)$: выбираем точку $x = 0$. Подставляем:

     $$(0 + 8)(0 - 4)(0 - 7) = (8)(-4)(-7) = 224 > 0$$

     Значит, на интервале $(-8, 4)$ выражение положительно.

   • Для интервала $(4, 7)$: выбираем точку $x = 5$. Подставляем:

     $$(5 + 8)(5 - 4)(5 - 7) = (13)(1)(-2) = -26 < 0$$

     Значит, на интервале $(4, 7)$ выражение отрицательно.

   • Для интервала $(7, \infty)$: выбираем точку $x = 8$. Подставляем:

     $$(8 + 8)(8 - 4)(8 - 7) = (16)(4)(1) = 64 > 0$$

     Значит, на интервале $(7, \infty)$ выражение положительно.

3. Итог: неравенство $(x + 8)(x - 4)(x - 7) > 0$ выполняется на интервалах $(-8, 4) \cup (7, \infty)$. Ответ:

   $$$$