Найдите наименьшее значение функции \( y = x^3 + 18x^2 + 17 \) на отрезке \([-3; 3]\).

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = x^3 + 18x^2 + 17$ на отрезке $[-3; 3]$, нужно выполнить стандартную процедуру поиска экстремумов на отрезке:

Шаг 1: Найдём производную функции

Шаг 2: Найдём критические точки

Приравниваем производную к нулю:

Отсюда:

Однако, мы рассматриваем функцию только на отрезке $[-3; 3]$, поэтому $x = -12$ не входит в данный отрезок и нас не интересует. Единственная критическая точка, попадающая в интервал — это $x = 0$.

Шаг 3: Проверим значение функции в критической точке и на концах отрезка

Подставим в исходную функцию:

• При $x = -3$:

  $$y = (-3)^3 + 18(-3)^2 + 17 = -27 + 162 + 17 = 152$$

• При $x = 0$:

  $$y = 0^3 + 18 \cdot 0^2 + 17 = 17$$

• При $x = 3$:

  $$y = 3^3 + 18 \cdot 3^2 + 17 = 27 + 162 + 17 = 206$$

Шаг 4: Сравниваем значения

• $y(-3) = 152$

• $y(0) = 17$

• $y(3) = 206$

Ответ:

Наименьшее значение функции на отрезке $[-3; 3]$ — 17, и достигается оно при $x = 0$.