3sin^2x + sinxcosx = 2cos^2x

Рассмотрим уравнение:
3sin²x + sinx·cosx = 2cos²x

Цель — решить это тригонометрическое уравнение.

Шаг 1: Перенесем всё в одну сторону уравнения

Переносим правую часть в левую:

3sin²x + sinx·cosx - 2cos²x = 0

Шаг 2: Выразим всё через одну функцию, например, через sin(x)

Используем основное тригонометрическое тождество:

cos²x = 1 - sin²x

Подставим:

3sin²x + sinx·cosx - 2(1 - sin²x) = 0

Раскроем скобки:

3sin²x + sinx·cosx - 2 + 2sin²x = 0

Объединим подобные:

(3sin²x + 2sin²x) + sinx·cosx - 2 = 0
5sin²x + sinx·cosx - 2 = 0

Шаг 3: Заменим произведение sinx·cosx

Напомним, что:

sinx·cosx = (1/2)sin(2x)

Подставим:

5sin²x + (1/2)sin(2x) - 2 = 0

Однако у нас смешанные функции (sin²x и sin(2x)), так что вернёмся и попробуем другой путь — выразим всё через cos(x).

Альтернативный путь: выразим через cos(x)

Используем:
sin²x = 1 - cos²x
sinx = √(1 - cos²x) – но корень здесь даст сложности, поэтому лучше оставить sinx как есть и выразим sin²x.

Итак:

3(1 - cos²x) + sinx·cosx - 2cos²x = 0

Раскроем скобки:

3 - 3cos²x + sinx·cosx - 2cos²x = 0

Объединим:

3 - 5cos²x + sinx·cosx = 0

Шаг 4: Переносим всё:

sinx·cosx = 5cos²x - 3

Теперь выразим sinx:

sinx = (5cos²x - 3)/cosx, при cosx ≠ 0

Теперь проверим, насколько это допустимо. Подставим sinx в основное тождество sin²x + cos²x = 1:

[(5cos²x - 3)/cosx]² + cos²x = 1

Вычислим:

(25cos⁴x - 30cos²x + 9)/cos²x + cos²x = 1

Приведем всё к общему знаменателю:

(25cos⁴x - 30cos²x + 9 + cos⁴x)/cos²x = 1

(26cos⁴x - 30cos²x + 9)/cos²x = 1

Теперь решим уравнение:

26cos⁴x - 30cos²x + 9 = cos²x

26cos⁴x - 31cos²x + 9 = 0

Обозначим y = cos²x, получаем квадратное уравнение:

26y² - 31y + 9 = 0

Решим это уравнение:

D = (-31)² - 4·26·9 = 961 - 936 = 25
√D = 5

Тогда:

y₁ = (31 + 5)/2·26 = 36/52 = 9/13
y₂ = (31 - 5)/2·26 = 26/52 = 1/2

Шаг 5: Найдём cosx

cos²x = 9/13 → cosx = ±√(9/13) = ±3/√13 = ±(3√13)/13
cos²x = 1/2 → cosx = ±1/√2 = ±√2/2

Шаг 6: Найдём sinx по формуле sin²x = 1 - cos²x

Для cos²x = 9/13, sin²x = 4/13 → sinx = ±2/√13 = ±(2√13)/13
Для cos²x = 1/2, sin²x = 1/2 → sinx = ±√2/2

Шаг 7: Найдём x

Теперь подставим значения в тригонометрические функции:

• Если sinx = √2/2 и cosx = √2/2 → x = π/4 + 2πn

• Если sinx = -√2/2 и cosx = -√2/2 → x = 5π/4 + 2πn

• Если sinx = 2√13/13 и cosx = 3√13/13 → тогда tanx = 2/3 → x = arctan(2/3) + πn

• Если sinx = -2√13/13 и cosx = -3√13/13 → тогда tanx = 2/3, x = arctan(2/3) + πn (аналогично, поскольку и sin, и cos отрицательные — угол в третьей четверти)

Ответ:

Общий вид решений:

1. x = π/4 + 2πn

2. x = 5π/4 + 2πn

3. x = arctan(2/3) + πn, где n ∈ ℤ