Решите уравнение. 2cos^2x-5cosx+2=0

Рассмотрим уравнение $2\cos^2(x) - 5\cos(x) + 2 = 0$.

1. Пусть $y = \cos(x)$. Тогда уравнение принимает вид:

   $$2y^2 - 5y + 2 = 0.$$

2. Это квадратное уравнение относительно $y$, которое можно решить с помощью дискриминанта. Для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac.$$

   В нашем случае $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$, следовательно:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9.$$

3. Теперь найдем корни уравнения по формуле:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

   Подставляем значения:

   $$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}.$$

4. Получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2,$$ $$y_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

5. Теперь вернемся к переменной $\cos(x)$:

   • Для $y_1 = 2$: $\cos(x) = 2$. Это невозможное значение, так как $\cos(x)$ может принимать значения только от -1 до 1. Поэтому этот корень мы исключаем.

   • Для $y_2 = \frac{1}{2}$: $\cos(x) = \frac{1}{2}$. Это допустимое значение, и оно имеет решение.

6. Чтобы найти $x$, решим уравнение $\cos(x) = \frac{1}{2}$. Известно, что $\cos(x) = \frac{1}{2}$ при:

   $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, общее решение уравнения $2\cos^2(x) - 5\cos(x) + 2 = 0$ имеет вид: