Определить вид четырёхугольника ABCD с вершинами A(0;8), B(-6;0), C(2;-6), D(8;2).

Чтобы определить вид четырёхугольника ABCD с вершинами A(0;8), B(-6;0), C(2;-6), D(8;2), необходимо рассчитать длины его сторон и углы между ними.

1. Нахождение длин сторон:
   Для вычисления длины отрезка между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) используется формула:

   $$d = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2}$$

   • Длина стороны AB:

     $$AB = \sqrt{(-6 - 0)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

   • Длина стороны BC:

     $$BC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-6 - 0)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$

   • Длина стороны CD:

     $$CD = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - (-6))^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

   • Длина стороны DA:

     $$DA = \sqrt{(8 - 0)^2 + (2 - 8)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$

   Все стороны равны, следовательно, это ромб.

2. Проверка углов:
   Чтобы убедиться, что это именно ромб, нужно проверить, не является ли четырёхугольник прямоугольным. Для этого можно вычислить скалярное произведение векторов, которые образуют смежные стороны. Если скалярное произведение равно нулю, то угол прямой.

   Вектор AB: (-6 - 0, 0 - 8) = (-6, -8)
   Вектор BC: (2 - (-6), -6 - 0) = (8, -6)

   Скалярное произведение векторов AB и BC:

   $$(-6) \cdot 8 + (-8) \cdot (-6) = -48 + 48 = 0$$

   Поскольку скалярное произведение равно нулю, угол между сторонами AB и BC прямой.

   Таким образом, четырёхугольник является ромбом и одновременно прямоугольным ромбом (или квадратом).

Ответ: Четырёхугольник ABCD является квадратом.