Найдите координаты вершины A параллелограмма ABCD, если B(3;7), C(-2;4), D(-5;3).

Чтобы найти координаты вершины A параллелограмма ABCD, нам нужно использовать свойство, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Это значит, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD.

1. Найдем середину диагонали BD. Для этого используем формулу середины отрезка:

   $$M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right)$$

   Подставляем координаты точек B(3;7) и D(-5;3):

   $$M_{BD} = \left( \frac{3 + (-5)}{2}, \frac{7 + 3}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{10}{2} \right) = (-1;5)$$

2. Так как M_{BD} является серединой диагоналей, то для параллелограмма середина диагонали AC будет также иметь координаты (-1;5). Теперь, чтобы найти координаты точки A, используем формулу для нахождения середины отрезка, но в обратную сторону:

   $$M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right)$$

   Из этого уравнения мы знаем, что M_{AC} = (-1;5), а координаты C равны (-2;4). Подставляем в формулу и решаем для координат A:

   $$\frac{x_A + (-2)}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \frac{y_A + 4}{2} = 5$$

   Решаем эти уравнения:

   $$\frac{x_A - 2}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad x_A - 2 = -2 \quad \Rightarrow \quad x_A = 0$$ $$\frac{y_A + 4}{2} = 5 \quad \Rightarrow \quad y_A + 4 = 10 \quad \Rightarrow \quad y_A = 6$$

Таким образом, координаты вершины A параллелограмма равны (0;6).