Решить уравнение \( x^4 + 2x^2 - 8 = 0 \).

Для того чтобы решить уравнение $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$, начнем с замены переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда уравнение примет вид:

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта:

Для уравнения $y^2 + 2y - 8 = 0$, где $a = 1$, $b = 2$ и $c = -8$, дискриминант равен:

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

Подставляем значения:

Получаем два корня:

1. $y_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

2. $y_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь возвращаемся к переменной $x$, помня, что $y = x^2$. Получаем два уравнения:

1. $x^2 = 2$, откуда $x = \pm \sqrt{2}$

2. $x^2 = -4$, но такое уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, решение уравнения $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$ в действительных числах: