Купец купил плащ, шляпу и калоши и заплатил за все 140 рублей. Плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе на 120 рублей больше, чем калоши. Сколько стоит каждая вещь в отдельности?

Для того чтобы найти цену каждой вещи, можно составить систему уравнений. Обозначим:

• $x$ — стоимость плаща,

• $y$ — стоимость шляпы,

• $z$ — стоимость калош.

Из условия задачи мы можем составить следующие уравнения:

1. $x + y + z = 140$ (общая стоимость всех вещей).

2. $x = y + 90$ (плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа).

3. $x + y = z + 120$ (шляпа и плащ вместе на 120 рублей дороже, чем калоши).

Теперь решим эту систему шаг за шагом.

Шаг 1: Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое и третье.

• Из второго уравнения $x = y + 90$.

• Подставляем в первое уравнение:

  $$(y + 90) + y + z = 140 \quad \Rightarrow \quad 2y + z + 90 = 140 \quad \Rightarrow \quad 2y + z = 50$$

• Подставляем $x = y + 90$ в третье уравнение:

  $$(y + 90) + y = z + 120 \quad \Rightarrow \quad 2y + 90 = z + 120 \quad \Rightarrow \quad 2y - z = 30$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $2y + z = 50$

2. $2y - z = 30$

Шаг 2: Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от $z$.

Шаг 3: Найдем $x$ и $z$.

• Подставим $y = 20$ в выражение для $x$:

  $$x = y + 90 = 20 + 90 = 110$$

• Подставим $y = 20$ в одно из уравнений, например, $2y + z = 50$:

  $$2(20) + z = 50 \quad \Rightarrow \quad 40 + z = 50 \quad \Rightarrow \quad z = 10$$

Ответ:

• Плащ стоит 110 рублей,

• Шляпа стоит 20 рублей,

• Калоши стоят 10 рублей.