Найти интервалы монотонности функции \( f(x) = x^4 - 6x^2 + 4 \).

Для нахождения интервалов монотонности функции $f(x) = x^4 - 6x^2 + 4$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции

Первая производная функции $f(x)$ определяет скорость изменения функции и используется для нахождения интервалов монотонности. Дифференцируем функцию:

2. Найти критические точки

Критические точки — это такие значения $x$, при которых производная функции равна нулю или не существует. Найдем такие значения, при которых $f'(x) = 0$:

Вынесем общий множитель:

Это уравнение равно нулю при $x = 0$ или $x^2 = 3$, то есть при $x = \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, критические точки функции: $x = -\sqrt{3}$, $x = 0$ и $x = \sqrt{3}$.

3. Исследовать знак первой производной на интервалах

Разделим ось $x$ на интервалы, которые определяются критическими точками: $(-\infty, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}, \infty)$.

Для каждого интервала подставим значение из соответствующей области в первую производную $f'(x) = 4x(x^2 - 3)$ и определим знак производной.

• Для $x \in (-\infty, -\sqrt{3})$ возьмем, например, $x = -2$:

Знак производной отрицательный, значит функция убывает на интервале $(-\infty, -\sqrt{3})$.

• Для $x \in (-\sqrt{3}, 0)$ возьмем, например, $x = -1$:

Знак производной положительный, значит функция возрастает на интервале $(-\sqrt{3}, 0)$.

• Для $x \in (0, \sqrt{3})$ возьмем, например, $x = 1$:

Знак производной отрицательный, значит функция убывает на интервале $(0, \sqrt{3})$.

• Для $x \in (\sqrt{3}, \infty)$