Решите неравенство -х² - 2х ≤ 0

Для решения неравенства $-x^2 - 2x \leq 0$ нужно выполнить несколько шагов.

1. Переносим все выражения на одну сторону:

   $$-x^2 - 2x \leq 0$$

   Это можно переписать как:

   $$x^2 + 2x \geq 0$$

   Я умножил обе части неравенства на $-1$, и при этом знак неравенства поменялся на противоположный.

2. Решаем неравенство:
   Теперь решим неравенство $x^2 + 2x \geq 0$. Для этого сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x = 0$. Для этого факторизуем выражение:

   $$x(x + 2) = 0$$

   Корни этого уравнения: $x = 0$ и $x = -2$.

3. Анализируем знаки на интервалах:
   У нас есть три интервала, которые образуются корнями: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$. Чтобы определить, на каких из этих интервалов выражение $x(x + 2)$ будет больше или равно нулю, проверим знак на каждом интервале:

   • Для интервала $(-∞, -2)$, например, для $x = -3$: $(-3)(-3 + 2) = (-3)(-1) = 3$, выражение положительное.

   • Для интервала $(-2, 0)$, например, для $x = -1$: $(-1)(-1 + 2) = (-1)(1) = -1$, выражение отрицательное.

   • Для интервала $(0, +∞)$, например, для $x = 1$: $(1)(1 + 2) = (1)(3) = 3$, выражение положительное.

4. Решение неравенства:
   Неравенство $x^2 + 2x \geq 0$ выполняется, когда выражение положительно или равно нулю. Из анализа знаков видно, что это условие выполняется на интервалах $(-∞, -2]$ и $[0, +∞)$.

5. Ответ:
   Решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$.