При каких значениях c уравнение x² + x - c = 0 будет иметь два корня? Решить уравнение log²x - 2lgx - 3 = 0.

Уравнение 1: $x^2 + x - c = 0$

Чтобы уравнение $x^2 + x - c = 0$ имело два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант этого квадратного уравнения был больше нуля.

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

Для уравнения $x^2 + x - c = 0$ коэффициенты:

• $a = 1$,

• $b = 1$,

• $c = -c$.

Подставляем в формулу для дискриминанта:

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть больше нуля:

Решим неравенство:

Таким образом, уравнение $x^2 + x - c = 0$ будет иметь два различных корня при $c > -\frac{1}{4}$.

Уравнение 2: $\log^2 x - 2 \log x - 3 = 0$

Рассмотрим уравнение $\log^2 x - 2 \log x - 3 = 0$. Для упрощения введем замену:

Тогда уравнение примет вид:

Решим это квадратное уравнение через дискриминант. Для уравнения $y^2 - 2y - 3 = 0$ коэффициенты:

• $a = 1$,

• $b = -2$,

• $c = -3$.

Дискриминант:

Корни уравнения:

Таким образом, два корня:

Возвращаемся к переменной $x$, используя $\log x = y$:

1. $\log x = 3 \Rightarrow x = 10^3 = 1000$

2. $\log x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0.1$

Ответ: $x = 1000$ и $x = 0.1$.