Найдите значение тригонометрических функций угла α, если sin α = 4/5, α - угол во 2 четверти.

Задача состоит в том, чтобы найти значения всех тригонометрических функций для угла α, если известно, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, и угол α находится во второй четверти.

1. Синус угла: Нам уже дано, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$.

2. Косинус угла:
   Для нахождения косинуса используем основное тригонометрическое тождество:

   $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

   Подставим значение синуса:

   $$\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\frac{16}{25} + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ $$\cos \alpha = \pm \frac{3}{5}$$

   Так как угол α находится во второй четверти, где косинус отрицателен, то:

   $$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$$

3. Тангенс угла:
   Тангенс можно вычислить как отношение синуса к косинусу:

   $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$$

4. Котангенс угла:
   Котангенс — это обратная величина тангенса:

   $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}$$

5. Дополнительные функции:

   • Секанс угла — это обратная величина косинуса:

   $$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3}$$

   • Косеканс угла — это обратная величина синуса:

   $$\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$$

Таким образом, значения тригонометрических функций для угла α:

• $\sin \alpha = \frac{4}{5}$

• $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$

• $\tan \alpha = -\frac{4}{3}$

• $\cot \alpha = -\frac{3}{4}$

• $\sec \alpha = -\frac{5}{3}$

• $\csc \alpha = \frac{5}{4}$