Решите биквадратное уравнение: а)y⁴-6y²+8=0; б)t⁴+10t²+25=0

а) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$

Это биквадратное уравнение, и для его решения сделаем подстановку. Пусть:

$z = y^2$

Тогда уравнение примет вид:

$z^2 - 6z + 8 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $z$. Для этого используем формулу дискриминанта:

Дискриминант $D$ равен:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

Корни квадратного уравнения:

Теперь подставляем обратно $z = y^2$, получаем два уравнения:

1. $y^2 = 4$ — откуда $y = 2$ или $y = -2$

2. $y^2 = 2$ — откуда $y = \sqrt{2}$ или $y = -\sqrt{2}$

Итак, корни уравнения $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$:

б) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$

Для решения этого уравнения также применим подстановку:

Пусть:

$z = t^2$

Тогда уравнение преобразуется в:

$z^2 + 10z + 25 = 0$

Решаем это квадратное уравнение относительно $z$. Найдем дискриминант:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$

Так как дискриминант равен 0, у уравнения есть один корень:

Теперь возвращаемся к переменной $t$:

Корней в вещественных числах для этого уравнения нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, у уравнения нет вещественных решений. Однако в комплексных числах можно записать:

Таким образом, комплексные корни уравнения $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$: