Диагонали АС и ВD прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, АО=12,5, а АВ:ВС=7:24. Найдите СD

Для решения задачи используем свойства прямоугольника и информацию о пропорциях.

1. Свойства прямоугольника:

   • В прямоугольнике диагонали пересекаются в середине. Следовательно, точка пересечения диагоналей — это середина каждой из диагоналей.

   • Диагонали прямоугольника равны между собой.

2. Обозначения:
   Пусть длина стороны прямоугольника AB = x, а длина стороны BC = y.

   По условию задачи, отношение сторон AB и BC равно 7:24. То есть:

   $$\frac{AB}{BC} = \frac{7}{24}$$

   Следовательно:

   $$\frac{x}{y} = \frac{7}{24}$$

   Из этого следует, что:

   $$x = \frac{7}{24}y$$

3. Использование данных о длине диагонали:
   Диагонали прямоугольника равны, и точка пересечения делит каждую диагональ пополам. Обозначим диагональ прямоугольника как $d$. Тогда длина отрезка AO (половина диагонали) равна 12,5, и длина всей диагонали:

   $$d = 2 \times 12,5 = 25$$

   Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольнику. Длина диагонали $d$ связана с длинами сторон прямоугольника AB и BC по формуле:

   $$d = \sqrt{AB^2 + BC^2}$$

   Подставляем $d = 25$, $AB = x$ и $BC = y$:

   $$25 = \sqrt{x^2 + y^2}$$

   Возводим обе части в квадрат:

   $$625 = x^2 + y^2$$

4. Подставляем $x = \frac{7}{24}y$:
   Подставляем выражение для $x$ в уравнение:

   $$625 = \left( \frac{7}{24}y \right)^2 + y^2$$

   Раскрываем скобки:

   $$625 = \frac{49}{576}y^2 + y^2$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$625 = \frac{49}{576}y^2 + \frac{576}{576}y^2 = \frac{625}{576}y^2$$

   Умножаем обе части на 576:

   $$625 \times 576 = 625y^2$$

   Получаем:

   $$360000 = 625y^2$$

   Разделим обе части на 625:

   $$y^2 = \frac{360000}{625} = 576$$

   Следовательно:

   $$y = 24$$

5. Находим длину стороны CD:
   Поскольку прямоугольник ABCD, то $CD = AB$. Мы уже нашли, что $AB = x = \frac{7}{24}y = \frac{7}{24} \times 24 = 7$.

Ответ: $CD = 7$.