найдите наибольшее значение функции y = x³ + 3x² - 2 на отрезке [-3; 0,5]

Найдём экстремумы по производной и сравним значения в критических точках и на концах отрезка.

1. $y=x^3+3x^2-2$.
   Производная: $y' = 3x^2+6x = 3x(x+2)$.

2. Критические точки: $y'=0 \Rightarrow 3x(x+2)=0 \Rightarrow x=-2$ или $x=0$. Обе точки лежат на отрезке $[-3;\,0{,}5]$.

3. Считаем значения функции в точках $-3,\,-2,\,0,\,0{,}5$:

• $y(-3)=(-3)^3+3(-3)^2-2=-27+27-2=-2$;

• $y(-2)=(-2)^3+3(-2)^2-2=-8+12-2=2$;

• $y(0)=0+0-2=-2$;

• $y(0{,}5)=\frac{1}{8}+3\cdot\frac{1}{4}-2=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}-2=-\frac{9}{8}=-1{,}125$.

4. Для понимания поведения:

• на $(-3,-2)$: $x<0,\ x+2<0\Rightarrow y'>0$ — функция возрастает;

• на $(-2,0)$: $x<0,\ x+2>0\Rightarrow y'<0$ — убывает;

• на $(0,0{,}5)$: $x>0,\ x+2>0\Rightarrow y'>0$ — снова возрастает.

Из всех полученных значений наибольшее $y=2$ достигается при $x=-2$.

Ответ: наибольшее значение равно $2$ (при $x=-2$).