Найдите все значения \( a \), при которых неравенство \( x^2 + (2a - 4)x + 8a + 1 > 0 \) не имеет решений.

Для того чтобы найти все значения $a$, при которых неравенство $x^2 + (2a - 4)x + 8a + 1 > 0$ не имеет решений, нужно проанализировать дискриминант квадратного выражения.

1. Запишем неравенство:

   $$x^2 + (2a - 4)x + 8a + 1 > 0$$

   Это неравенство — квадратное по отношению к $x$, с коэффициентами:

   • $A = 1$ (коэффициент при $x^2$),

   • $B = 2a - 4$ (коэффициент при $x$),

   • $C = 8a + 1$ (свободный член).

2. Неравенство не имеет решений, если парабола, соответствующая квадратному уравнению, не пересекает ось абсцисс, то есть дискриминант этого уравнения должен быть отрицательным.

   Дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле:

   $$\Delta = B^2 - 4AC$$

   Подставляем значения $A = 1$, $B = 2a - 4$, $C = 8a + 1$:

   $$\Delta = (2a - 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a + 1)$$

   Раскроем скобки:

   $$\Delta = (2a - 4)^2 - 4(8a + 1)$$ $$\Delta = (4a^2 - 16a + 16) - (32a + 4)$$ $$\Delta = 4a^2 - 16a + 16 - 32a - 4$$ $$\Delta = 4a^2 - 48a + 12$$

3. Найдем значения $a$, при которых дискриминант меньше нуля (чтобы неравенство не имело решений):

   $$4a^2 - 48a + 12 < 0$$

   Разделим обе части на 4:

   $$a^2 - 12a + 3 < 0$$

4. Решим квадратное неравенство $a^2 - 12a + 3 < 0$. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 12a + 3 = 0$. Для этого используем формулу для корней квадратного уравнения:

   $$a = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$$ $$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2}$$ $$a = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2}$$ $$a = \frac{12 \pm 2\sqrt{33}}{2}$$ $$a = 6 \pm \sqrt{33}$$

   Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 6 - \sqrt{33}$ и $a_2 = 6 + \sqrt{33}$.

5. Решение неравенства $a^2 - 12a + 3 < 0$ лежит между этими корнями. То есть, $a$ должно лежать в интервале:

   $$6 - \sqrt{33} < a < 6 + \sqrt{33}$$