Решите систему: 2х + у = 1; 2х² + ху + у² = 1

Для решения данной системы уравнений:

1. $2x + y = 1$

2. $2x^2 + xy + y^2 = 1$

начнем с того, что выразим $y$ через $x$ из первого уравнения. Из уравнения $2x + y = 1$ получаем:

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение $2x^2 + xy + y^2 = 1$. Получаем:

Распишем выражения:

Теперь подставим все это в уравнение:

Упрощаем:

Выразим это как квадратное уравнение:

Вынесем общий множитель $x$:

Получаем два возможных значения для $x$:

Из второго уравнения $4x - 3 = 0$ получаем:

Теперь подставим эти значения $x$ обратно в выражение для $y$:

1. Если $x = 0$, то $y = 1 - 2(0) = 1$.

2. Если $x = \frac{3}{4}$, то $y = 1 - 2 \cdot \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, у нас два решения системы:

1. $(x, y) = (0, 1)$

2. $(x, y) = \left( \frac{3}{4}, -\frac{1}{2} \right)$