Решите уравнение: 3/(х-5) + 8/х = 2

Для решения уравнения $\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2$, начнем с того, что найдём общий знаменатель. Общий знаменатель для дробей $\frac{3}{x-5}$ и $\frac{8}{x}$ будет произведением $(x-5)$ и $x$, то есть $x(x-5)$.

Теперь перепишем уравнение с общим знаменателем:

Умножим каждую дробь на $x(x-5)$:

Раскроем скобки:

Теперь объединим все члены на одной стороне:

Приведём подобные:

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

Собираем все подобные члены:

Теперь решим это квадратное уравнение $2x^2 - 21x + 40 = 0$ с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

В нашем уравнении $a = 2$, $b = -21$, $c = 40$. Подставляем в формулу:

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два корня. Найдем их с помощью формулы:

Подставим значения $a = 2$, $b = -21$, $D = 121$:

Теперь вычислим оба корня:

1. $x_1 = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8$

2. $x_2 = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

Ответ: $x = 8$ и $x = 2.5$.

Но помним, что мы исключаем такие значения $x$, при которых знаменатели дробей равны нулю. В исходном уравнении знаменатели $x-5$ и $x$ не могут быть равны нулю, значит $x \neq 5$ и $x \neq 0$. Из найденных решений ни одно не приводит к нулевым знаменателям, следовательно, оба корня допустимы.

Ответ: $x = 8$ и $x = 2.5$.