Найдите область определения функции \( y = \lg(-2 + x + x^2) \).

Для того чтобы найти область определения функции $y = \lg(-2 + x + x^2)$, нужно учесть, что логарифм определён только для положительных значений аргумента. То есть, выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:

Приведём это неравенство к стандартному виду. Перепишем его как:

Теперь решим неравенство. Для этого сначала решим соответствующее квадратное уравнение:

Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, корни:

Теперь, используя эти корни, разложим выражение $x^2 + x - 2$ на множители:

Теперь решим неравенство:

Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ это неравенство выполняется, рассмотрим промежутки, на которые делится ось $x$ относительно корней $x = 1$ и $x = -2$. Проверим знак выражения на каждом из интервалов:

1. Для $x < -2$ (например, $x = -3$): $(x - 1) > 0$ и $(x + 2) < 0$, произведение отрицательно.

2. Для $-2 < x < 1$ (например, $x = 0$): $(x - 1) < 0$ и $(x + 2) > 0$, произведение отрицательно.

3. Для $x > 1$ (например, $x = 2$): $(x - 1) > 0$ и $(x + 2) > 0$, произведение положительно.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < -2$ или $x > 1$.

Итак, область определения функции $y = \lg(-2 + x + x^2)$ — это: