Как найти наибольшее значение функции y = sinx * cosx?

Для того чтобы найти наибольшее значение функции $y = \sin(x) \cdot \cos(x)$, можно использовать несколько методов, включая использование производной и тригонометрических преобразований.

Шаг 1. Преобразуем функцию

Воспользуемся тригонометрической идентичностью для упрощения выражения. Напоминаю, что $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cdot \cos(x)$. Таким образом, наша функция $y = \sin(x) \cdot \cos(x)$ превращается в:

Теперь задача сводится к нахождению максимального значения функции $\sin(2x)$.

Шаг 2. Максимальное значение функции $\sin(2x)$

Известно, что функция $\sin(\theta)$ принимает максимальное значение 1, когда $\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Таким образом, $\sin(2x)$ достигает своего максимума, равного 1, при $2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, или $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

Шаг 3. Наибольшее значение функции

Когда $\sin(2x) = 1$, значение функции $y = \frac{1}{2} \sin(2x)$ равно:

Таким образом, наибольшее значение функции $y = \sin(x) \cdot \cos(x)$ равно $\frac{1}{2}$.