Площадь фигуры, ограниченной линиями y=9-x² и y=0, равна

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 9 - x^2$ и $y = 0$, можно найти, вычислив определённый интеграл.

1. Уравнение $y = 9 - x^2$ представляет собой параболу, открывающуюся вниз, с вершиной в точке $(0, 9)$. Линия $y = 0$ — это ось $x$, то есть, область, ограниченная этими линиями, находится между параболой и осью $x$.

2. Для нахождения площади нужно интегрировать функцию $9 - x^2$ от левого до правого конца области. Сначала определим границы интегрирования. Площадь фигуры ограничена осью $x$, то есть область лежит между точками пересечения параболы с осью $x$. Чтобы найти эти точки, приравняем $y = 9 - x^2$ к нулю:

   $$9 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3.$$

   Таким образом, границы интегрирования будут $x = -3$ и $x = 3$.

3. Теперь можно вычислить площадь, интегрируя функцию $9 - x^2$ от $x = -3$ до $x = 3$:

   $$S = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) \, dx.$$

4. Разделим этот интеграл на две части:

   $$S = \int_{-3}^{3} 9 \, dx - \int_{-3}^{3} x^2 \, dx.$$

   Первое слагаемое:

   $$\int_{-3}^{3} 9 \, dx = 9 \cdot (3 - (-3)) = 9 \cdot 6 = 54.$$

   Второе слагаемое (так как функция $x^2$ чётная, а пределы симметричны относительно нуля, можно умножить интеграл от 0 до 3 на 2):

   $$\int_{-3}^{3} x^2 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{3} x^2 \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = 2 \cdot \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 2 \cdot 9 = 18.$$

5. Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

   $$S = 54 - 18 = 36.$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 9 - x^2$ и $y = 0$, равна 36.