Y=cos^2*3x найти производную

Для того чтобы найти производную функции $Y = \cos^2(3x)$, применим правило дифференцирования сложной функции, а также правило дифференцирования произведения функции.

1. Сначала выразим функцию в более удобной форме:

   $$Y = (\cos(3x))^2$$

2. Применим к этой функции цепное правило. Пусть $u = \cos(3x)$, тогда $Y = u^2$. Производная от $u^2$ по $u$ будет:

   $$\frac{d}{du}(u^2) = 2u$$

   То есть:

   $$\frac{dY}{du} = 2 \cos(3x)$$

3. Теперь нужно найти производную от $u = \cos(3x)$ по $x$. Для этого используем цепное правило для производной косинуса:

   $$\frac{d}{dx}(\cos(3x)) = -\sin(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = -3\sin(3x)$$

4. Таким образом, производная функции $Y = \cos^2(3x)$ будет:

   $$\frac{dY}{dx} = 2 \cos(3x) \cdot (-3 \sin(3x))$$

   Упростим выражение:

   $$\frac{dY}{dx} = -6 \cos(3x) \sin(3x)$$

5. Используя тригонометрическую формулу для удвоенного угла $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$, можно записать:

   $$-6 \cos(3x) \sin(3x) = -3 \sin(6x)$$

Итак, окончательная производная функции $Y = \cos^2(3x)$ равна: