В треугольнике АBC АB = 9,12⋅√6, ∠B =60°, ∠C =45. Найдите сторону АC

Для решения задачи о нахождении стороны $AC$ в треугольнике $ABC$, где известны $AB = 9.12 \cdot \sqrt{6}$, $\angle B = 60^\circ$ и $\angle C = 45^\circ$, можем воспользоваться теоремой синусов и некоторыми тригонометрическими соотношениями.

1. Найдем угол $A$: Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

   $$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ.$$

2. Используем теорему синусов: Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла остается постоянным:

   $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$$

   где $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$.

   В нашем случае:

   $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin A}.$$

   Подставим известные значения:

   • $AB = 9.12 \cdot \sqrt{6}$
   • $\sin B = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   • $\sin A = \sin 75^\circ$.

   Для вычисления $\sin 75^\circ$ воспользуемся формулой:

   $$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \cdot \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$$

3. Подставим в уравнение: Теперь мы можем выразить сторону $AC$:

   $$\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9.12 \cdot \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}.$$

   Умножим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

   $$AC = \frac{9.12 \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}.$$