Шар описан вокруг равностороннего конуса (осевое сечение — равносторонний треугольник). Найди радиус шара, если образующая конуса равна 24 см.​

Чтобы найти радиус шара, описанного вокруг равностороннего конуса с заданной образующей, нужно сначала понять, как связаны размеры шара и конуса.

1. Определение параметров конуса

Для равностороннего конуса:

• Образующая (l) = 24 см.
• Высота (h) и радиус основания (R) конуса будут связаны с образующей.

Так как сечение конуса осевое, то можно представить его как равносторонний треугольник, где:

• Высота конуса (h) и радиус основания (R) можно выразить через образующую (l).

2. Связь между высотой, радиусом и образующей

Для равностороннего треугольника:

• Высота (h) равна $\frac{\sqrt{3}}{2} R$.
• Образующая (l) равна $\sqrt{R^2 + h^2}$.

Подставляем высоту: $l = \sqrt{R^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} R\right)^2}$ $l = \sqrt{R^2 + \frac{3}{4} R^2}$ $l = \sqrt{\frac{7}{4} R^2}$ $l = \frac{\sqrt{7}}{2} R$

3. Находим радиус основания (R)

Теперь выразим радиус через образующую: $R = \frac{2l}{\sqrt{7}}$

Подставляем значение l = 24 см: $R = \frac{2 \cdot 24}{\sqrt{7}} = \frac{48}{\sqrt{7}}$

4. Вычисление радиуса

Для более точного значения можно упростить: $R \approx \frac{48}{2.64575} \approx 18.12 \text{ см}$

5. Радиус описанного шара

Теперь, чтобы найти радиус шара (R_с), описанного вокруг конуса, можно использовать формулу для радиуса описанного шара: $R_с = \frac{l}{\sqrt{3}}$

Подставляем образующую: $R_с = \frac{24}{\sqrt{3}} \approx \frac{24}{1.73205} \approx 13.86 \text{ см}$

6. Ответ

Таким образом, радиус шара, описанного вокруг равностороннего конуса с образующей 24 см, равен примерно 13.86 см.