Из металлической заготовки вытачивают деталь. Стружку, которая получилась при вытачивании 8 деталей, можно переплавить для изготовления ещё одной заготовки. Сколько деталей можно сделать из 64 заготовок?

Решение как у задачи про «обмен пустых бутылок».

Из каждой заготовки вытачивают 1 деталь и получают 1 “единицу” стружки. Каждые 8 таких единиц можно переплавить в новую заготовку (которая снова даёт деталь и ещё 1 единицу стружки).

Стартуем с 64 заготовок:

1. 64 заготовки → 64 детали, стружки 64 → ещё 8 заготовок.

2. Эти 8 → 8 деталей, стружки 8 → ещё 1 заготовка.

3. Эта 1 → 1 деталь, стружки 1 (меньше 8 — дальше не обменять).

Итого деталей: 64 + 8 + 1 = 73.

Эквивалентно можно считать геометрической суммой:
$64 + \lfloor 64/8 \rfloor + \lfloor 64/8^2 \rfloor = 64 + 8 + 1 = 73$.

Сразу точим все 64 заготовки → получаем 64 детали и 64 «единицы» стружки.

Дальше используем переработку. Важно заметить:
из 8 единиц стружки переплавляем 1 заготовку, снова точим её и получаем ещё 1 деталь, при этом возникает 1 новая единица стружки.
Значит, один такой «цикл» даёт +1 деталь и чисто уменьшает запас стружки на 7 (8 потратили, 1 вернулась).

Стартуем с 64 единиц стружки. Сколько циклов можно сделать, уменьшая по 7, пока хватает хотя бы 8?
64 → 57 → 50 → 43 → 36 → 29 → 22 → 15 → 8 → 1 — это 9 циклов.
(Эквивалентно: $\lfloor (64-1)/7 \rfloor = 9$, потому что неизбежно останется остаток 1.)

Итого деталей: первоначальные 64 + ещё 9 = 73 детали.