Найдите наименьшее значение функции \( y = e^{2x} - 8e^{x} + 9 \) на отрезке \([0; 2]\).

Решение. Перепишем выражение, выделив полный квадрат:

На отрезке $x\in[0,2]$ имеем $e^x\in[1,e^2]\approx[1,7{,}39]$. Число $4$ лежит внутри этого промежутка, значит квадрат $\bigl(e^x-4\bigr)^2$ достигает минимума $0$ при $e^x=4$, то есть при $x=\ln 4\in[0,2]$.

Тогда минимальное значение функции: