Решите уравнение \(4x^3 - 3x - 1 = 0\).

Решение удобно сделать двумя способами.

1) Через формулу тройного угла

Из тождества $\cos(3t)=4\cos^3 t-3\cos t$ видно, что при подстановке $x=\cos t$ уравнение

становится $\cos(3t)=1$. Тогда $3t=2\pi k$, то есть $t=\frac{2\pi k}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Следовательно,

Итак, корни: $x=1$ и $x=-\tfrac12$ (последний повторяется дважды).

2) Алгебраически (рациональный корень и разложение)

По теореме о рациональном корне легко проверить, что $x=1$ — корень:

Делим многочлен на $(x-1)$:

Отсюда корни: $x=1$ и $x=-\tfrac12$ (двукратный).

Ответ: $x=1$ и $x=-\dfrac12$ (последний — кратности 2).