Решите уравнение х^6-9х^3+8=0

Решение.

Заметим, что уравнение квадратно по $x^3$:

Обозначим $t=x^3$. Тогда

откуда $t=1$ или $t=8$. Возвращаемся к $x$:

1. $x^3=1$.
   Кубические корни единицы:

2. $x^3=8$.
   Кубические корни числа $8=2^3$:

Можно также разложить сразу:

что даёт те же корни.

Ответ:

• Над действительными числами: $x=1,\; x=2$.

• Все комплексные корни: $\displaystyle x\in\left\{1,\; -\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}i,\; 2,\; -1\pm \sqrt{3}\,i\right\}.$